Упр.576 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 576. Диагонали параллелограмма равны 6 см и 16 см, а одна из сторон — 7 см. Найдите угол между диагоналями параллелограмма и его площадь.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$.

Тогда

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{16}{2}=8,$$

$$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{6}{2}=3.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$\cos \angle AOB=\frac{AO^2+BO^2-AB^2}{2\cdot AO\cdot BO}.$$

Подставим значения:

$$\cos \angle AOB=\frac{8^2+3^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 3}=\frac{64+9-49}{48}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle AOB=60^\circ.$$

Теперь найдём площадь параллелограмма. Она выражается через диагонали и угол между ними:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin \angle AOB.$$

Тогда

$$S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 6\cdot \sin 60^\circ=48\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ \text{см}^2.$$

Ответ

$$60^\circ,\ 24\sqrt{3}\ \text{см}^2.$$