Упр.575 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 575. Меньшее основание и боковая сторона равнобокой трапеции равны 12 см. Чему равна средняя линия трапеции, если один из её углов равен 60°?
В равнобокой трапеции $$ABCD$$ боковые стороны равны, значит $$AB=CD=12$$ см, а углы при каждом основании равны. Тогда
$$\angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-60^\circ=120^\circ,$$
$$\angle D=\angle A=60^\circ.$$
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B.$$
Подставим значения:
$$AC^2=12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \cos 120^\circ,$$
$$AC^2=144+144-288\cdot\left(-\frac12\right)=432,$$
откуда
$$AC=12\sqrt3.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. По теореме косинусов:
$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos\angle D.$$
Подставим известные величины:
$$432=AD^2+12^2-2\cdot AD\cdot 12\cdot \cos 60^\circ,$$
$$432=AD^2+144-12AD,$$
$$AD^2-12AD-288=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=12^2+4\cdot 288=144+1152=1296,$$
$$AD=\frac{12+\sqrt{1296}}{2}=\frac{12+36}{2}=24.$$
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
$$EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{24+12}{2}=18.$$
Ответ
$$18\text{ см}$$
