Упр.574 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 574. На стороне AD и на диагонали АС параллелограмма АВCD отметили соответственно точки М и N так, что AM=(1/5)AD и AN=(1/6)AC. Докажите, что точки М, N и В лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим через $$\vec{AB}=\vec{b}$$ и $$\vec{AD}=\vec{d}$$. Тогда в параллелограмме $$ABCD$$ диагональ

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{b}+\vec{d}.$$

Так как $$AM=\frac15 AD$$, то

$$\vec{AM}=\frac15\vec{d}.$$

Из условия $$AN=\frac16 AC$$ получаем

$$\vec{AN}=\frac16\vec{AC}=\frac16(\vec{b}+\vec{d})=\frac16\vec{b}+\frac16\vec{d}.$$

Найдём векторы $$\vec{BM}$$ и $$\vec{BN}$$:

$$\vec{BM}=\vec{BA}+\vec{AM}=-\vec{b}+\frac15\vec{d},$$

$$\vec{BN}=\vec{BA}+\vec{AN}=-\vec{b}+\frac16\vec{b}+\frac16\vec{d}=-\frac56\vec{b}+\frac16\vec{d}.$$

Проверим, пропорциональны ли эти векторы:

$$\frac{7}{6}\vec{BN}=\frac{7}{6}\left(-\frac56\vec{b}+\frac16\vec{d}\right)=-\frac{35}{36}\vec{b}+\frac{7}{36}\vec{d},$$

что не совпадает с $$\vec{BM}$$, значит такой путь неудобен. Рассмотрим координатный способ.

Пусть $$A(0,0)$$, $$D(5,0)$$, а $$B(x,y)$$. Тогда $$C(x+5,y)$$. Из условия

$$M\left(1,0\right),$$

а так как $$AN=\frac16 AC$$, то точка $$N$$ делит отрезок $$AC$$ в отношении $$1:5$$, следовательно

$$N\left(\frac{x+5}{6},\frac{y}{6}\right).$$

Уравнение прямой $$BN$$ можно записать по двум точкам $$B(x,y)$$ и $$N\left(\frac{x+5}{6},\frac{y}{6}\right)$$. Проверим, лежит ли на ней точка $$M(1,0)$$. Для этого найдём угловые коэффициенты:

$$k_{BM}=\frac{0-y}{1-x}=\frac{y}{x-1},$$

$$k_{BN}=\frac{\frac{y}{6}-y}{\frac{x+5}{6}-x}=\frac{-\frac56y}{\frac{5-5x}{6}}=\frac{y}{x-1}.$$

Следовательно, $$k_{BM}=k_{BN}$$, значит, точки $$M$$, $$N$$ и $$B$$ лежат на одной прямой.