Упр.573 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Пусть точки $$M_1$$ и $$M_2$$ — середины отрезков $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $$A_1A_2$$, $$M_1M_2$$, $$B_1B_2$$ лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$, $$K$$, $$F$$ середины отрезков $$A_1A_2$$, $$M_1M_2$$, $$B_1B_2$$ соответственно.

Так как $$M_1$$ и $$M_2$$ — середины отрезков $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$, то

$$\overrightarrow{A_1M_1}=\frac12\overrightarrow{A_1B_1}, \qquad \overrightarrow{A_2M_2}=\frac12\overrightarrow{A_2B_2}.$$

Поскольку $$E$$ — середина $$A_1A_2$$, а $$K$$ — середина $$M_1M_2$$, имеем

$$\overrightarrow{EK}=\frac12\left(\overrightarrow{A_1M_1}+\overrightarrow{A_2M_2}\right) =\frac14\overrightarrow{A_1B_1}+\frac14\overrightarrow{A_2B_2}.$$

Аналогично, так как $$K$$ — середина $$M_1M_2$$, а $$F$$ — середина $$B_1B_2$$, получаем

$$\overrightarrow{KF}=\frac12\left(\overrightarrow{M_1B_1}+\overrightarrow{M_2B_2}\right) =\frac14\overrightarrow{A_1B_1}+\frac14\overrightarrow{A_2B_2}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{KF}.$$

Значит, точки $$E$$, $$K$$ и $$F$$ лежат на одной прямой, причём $$K$$ — середина отрезка $$EF$$.