Упр.572 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$AE$$, $$BF$$ и $$CK$$ — его медианы.

Тогда точки $$E$$, $$F$$ и $$K$$ — середины сторон $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно, поэтому

$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC},$$
$$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{CA},$$
$$\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Сложим эти векторы:

$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CK} = \left(\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}\right) + \left(\overrightarrow{BC}+\frac12\overrightarrow{CA}\right) + \left(\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{AB}\right).$$

Группируя слагаемые, получаем

$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CK} = \frac32\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right).$$

Но для любого треугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0,$$

значит,

$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CK}=\vec 0.$$

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AE}$$, $$\overrightarrow{BF}$$ и $$\overrightarrow{CK}$$ можно рассматривать как стороны некоторого треугольника, так как сумма трёх векторов, отложенных последовательно, равна нулю.

Значит, существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника.