Упр.571 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отметили точку $$D$$ так, что $$BD:DC=1:2$$. Докажите, что $$AD=\frac{2}{3}AB+\frac{1}{3}AC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Тогда

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.$$

Так как точка $$D$$ делит отрезок $$BC$$ в отношении $$BD:DC=1:2$$, то

$$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$$

Подставим найденное выражение для $$\overrightarrow{BC}$$:

$$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$$

Теперь найдём вектор $$\overrightarrow{AD}$$:

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} =\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$

Что и требовалось доказать.