Упр.571 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 571. На стороне ВС треугольника АВС отметили точку D так, что BD:DC=1:2. Докажите, что AD=(2/3)AB+(1/3)AC.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Тогда

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.$$

Так как точка $$D$$ делит отрезок $$BC$$ в отношении $$BD:DC=1:2$$, то

$$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$$

Подставим найденное выражение для $$\overrightarrow{BC}$$:

$$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$$

Теперь найдём вектор $$\overrightarrow{AD}$$:

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}.$$

Тогда

$$ \overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} =\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}. $$

Что и требовалось доказать.