Упр.570 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отметили точку $$M$$ так, что $$AM:MC=2:3$$. Докажите, что $$BM=\frac{3}{5}BA+\frac{2}{5}BC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как точка $$M$$ делит сторону $$AC$$ в отношении $$AM:MC=2:3$$, то

$$AM=\frac{2}{5}AC.$$

Вектор $$\overrightarrow{AC}$$ выразим через векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$:

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}.$$

Теперь найдём вектор $$\overrightarrow{BM}$$:

$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}.$$

Подставим найденное выражение для $$\overrightarrow{AM}$$:

$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}.$$

Так как $$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$$, получаем

$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}-\frac{2}{5}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC} =\frac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\overrightarrow{BM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}.$$