Упр.57 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 57. Диагонали параллелограмма равны 13 см и 11 см, а одна из сторон — 9 см. Найдите периметр параллелограмма.
В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, значит
$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}=6{,}5,\qquad BO=\frac{1}{2}BD=\frac{11}{2}=5{,}5.$$
Рассмотрим треугольник $$AOD$$. По теореме косинусов:
$$AD^2=AO^2+DO^2-2\cdot AO\cdot DO\cdot \cos\angle AOD.$$
Подставим значения:
$$81=6{,}5^2+5{,}5^2-2\cdot 6{,}5\cdot 5{,}5\cdot \cos\angle AOD,$$
$$81=42{,}25+30{,}25-71{,}5\cos\angle AOD,$$
$$71{,}5\cos\angle AOD=-8{,}5,$$
$$\cos\angle AOD=-\frac{17}{143}.$$
Так как углы $$\angle AOD$$ и $$\angle BOA$$ смежные, то
$$\cos\angle BOA=-\cos\angle AOD=\frac{17}{143}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$AOB$$:
$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle BOA.$$
Тогда
$$AB^2=6{,}5^2+5{,}5^2-2\cdot 6{,}5\cdot 5{,}5\cdot \frac{17}{143},$$
$$AB^2=42{,}25+30{,}25-8{,}5=64,$$
$$AB=8.$$
Периметр параллелограмма:
$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(8+9)=34.$$
Ответ
$$34\text{ см}$$
