Упр.569 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 569. Пусть точки M и N — соответственно середины диагоналей АС и BD трапеции ABCD (ВС||AD). Используя задачу 566, докажите, что MN||AD.

Подробный ответ

В трапеции $$ABCD$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$. По задаче 566 для отрезка, соединяющего середины диагоналей четырёхугольника, имеем:

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right).$$

Так как в четырёхугольнике $$ABCD$$

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD},$$

а в трапеции $$BC \parallel AD$$, то вектор $$\overrightarrow{BC}$$ направлен так же, как и $$\overrightarrow{AD}$$. Тогда

$$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{MN}.$$

Следовательно, $$\overrightarrow{MN}$$ параллелен $$\overrightarrow{AD}$$, то есть

$$MN \parallel AD.$$

Что и требовалось доказать.