Упр.568 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 568. Пусть точки М и N — соответственно середины диагоналей АС и BD четырехугольника АВCD. Используя задачу 566, докажите, что MN=(1/2)(AB-DC).

Обозначим через $$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$$ радиус-векторы точек $$A, B, C, D$$ соответственно.

Так как $$M$$ — середина диагонали $$AC$$, а $$N$$ — середина диагонали $$BD$$, то

$$\vec{m}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}, \qquad \vec{n}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{MN}=\vec{n}-\vec{m}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}-\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}+\vec{d}-\vec{c}).$$

Но

$$\vec{b}-\vec{a}=\overrightarrow{AB}, \qquad \vec{d}-\vec{c}=\overrightarrow{CD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right).$$

Так как $$\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$$, то

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}\right).$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}\right).$$