Упр.567 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 567. Используя задачу 566, докажите теорему о средней линии трапеции. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_geo9 567 930

Подробный ответ

В трапеции $$ABCD$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия. По задаче 566 для средней линии трапеции имеем

$$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right).$$

Так как $$AD \parallel BC$$, то векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ сонаправлены. Следовательно, вектор $$\overrightarrow{EF}$$ тоже сонаправлен этим векторам, значит

$$EF \parallel AD \parallel BC.$$

Кроме того, длина средней линии равна модулю соответствующего вектора:

$$|EF|=\left|\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)\right|=\frac{1}{2}\left(|BC|+|AD|\right).$$

Значит,

$$EF=\frac{BC+AD}{2}.$$

Тем самым теорема о средней линии трапеции доказана.