Упр.566 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Пусть точки $$M_1$$ и $$M_2$$ — середины отрезков $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$ соответственно. Докажите, что $$M_1M_2=\frac{1}{2}(A_1A_2+B_1B_2)$$.

Рассмотрим векторы в четырёхугольнике $$A_1B_1B_2A_2$$:

$$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{B_2A_2}.$$

Так как точки $$M_1$$ и $$M_2$$ — середины отрезков $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$, то

$$\overrightarrow{M_1B_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_1B_1}, \qquad \overrightarrow{B_2M_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B_2A_2}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{M_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{B_2M_2}.$$

Подставим найденные выражения:

$$\overrightarrow{M_1M_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_2A_2}.$$

Сгруппируем с учётом формулы для $$\overrightarrow{A_1A_2}$$:

$$\overrightarrow{M_1M_2}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{B_2A_2}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B_2}$$

$$\overrightarrow{M_1M_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_1A_2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1B_2}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{M_1M_2}=\frac{\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\overrightarrow{M_1M_2}=\frac{\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}}{2}.$$