Упр.565 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 565. С помощью векторов докажите теорему о средней линии треугольника.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$

Так как $$E$$ — середина $$AB$$, а $$F$$ — середина $$BC$$, то

$$\overrightarrow{EA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{CF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$$

Найдём вектор $$\overrightarrow{EF}$$:

$$ \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}. $$

Подставим найденные выражения:

$$ \overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. $$

Тогда

$$ \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right) =\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $$

Следовательно, $$\overrightarrow{EF}$$ коллинеарен $$\overrightarrow{AC}$$, значит, $$EF \parallel AC$$, и при этом

$$EF=\frac{1}{2}AC.$$

Что и требовалось доказать.