Упр.564 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Медианы треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{BM}$$ через векторы $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$ середину стороны $$AC$$. Тогда $$BE$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Точка $$M$$ — точка пересечения медиан, значит, она делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$BM:ME=2:1,$$

откуда

$$BM=\frac{2}{3}BE.$$

Найдём вектор $$\overrightarrow{BE}$$ через $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$. Так как $$E$$ — середина отрезка $$AC$$, то

$$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$$

Но

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\left(-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$$

Теперь умножим на $$\frac{2}{3}$$:

$$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$$