Упр.563 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 563. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки М и N тaк, что АМ:МC=1:3 и BN:NC=4:3. Выразите векторы BA, AN, ВM, NM через векторы BN=k, AM=p.

Так как $$AM:MC=1:3$$ и $$\overrightarrow{AM}=\vec p,$$ то

$$\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{AM}=3\vec p.$$

Поскольку точки $$B, N, C$$ лежат на одной прямой и $$BN:NC=4:3,$$ а $$\overrightarrow{BN}=\vec k,$$ получаем

$$\overrightarrow{NC}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{BN}=-\frac{3}{4}\vec k,$$

следовательно,

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NC}=\vec k-\frac{3}{4}\vec k=\frac{1}{4}\vec k.$$

Из условия $$AM:MC=1:3$$ имеем также

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}=\vec p+3\vec p=4\vec p.$$

Теперь выразим требуемые векторы:

$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\frac{1}{4}\vec k-4\vec p,$$

$$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=4\vec p-\frac{3}{4}\vec k,$$

$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}=\frac{1}{4}\vec k-3\vec p,$$

$$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}=-\frac{3}{4}\vec k-3\vec p.$$

Ответ

$$\overrightarrow{BA}=\frac{1}{4}\vec k-4\vec p,\quad \overrightarrow{AN}=4\vec p-\frac{3}{4}\vec k,\quad \overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\vec k-3\vec p,\quad \overrightarrow{NM}=-\frac{3}{4}\vec k-3\vec p.$$