Упр.562 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 562. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки К и F так, что АК:КВ=1:2 и BF:FC=2:3. Выразите векторы AC, AF, КС, KF через векторы ВК=m, CF=n.

Так как точки $$K$$ и $$F$$ делят стороны треугольника в данных отношениях, выразим нужные векторы через $$\vec{BK}=\vec m$$ и $$\vec{CF}=\vec n$$.

Из отношения $$AK:KB=1:2$$ получаем, что $$\vec{AK}$$ и $$\vec{BK}$$ направлены противоположно, а по модулю $$|\vec{AK}|=\frac12|\vec{BK}|$$, значит

$$\vec{AK}=-\frac12\vec{BK}=-\frac12\vec m.$$

Из отношения $$BF:FC=2:3$$ следует, что $$\vec{BF}$$ и $$\vec{CF}$$ направлены противоположно, а

$$\vec{BF}=-\frac23\vec{CF}=-\frac23\vec n.$$

Теперь найдём остальные векторы:

$$\vec{KF}=\vec{KB}+\vec{BF}=-\vec m-\frac23\vec n,$$

так как $$\vec{KB}=-\vec{BK}=-\vec m.$$

Далее

$$\vec{KC}=\vec{KF}+\vec{FC}=-\vec m-\frac23\vec n-\vec n=-\vec m-\frac53\vec n.$$

Теперь

$$\vec{AF}=\vec{AK}+\vec{KF}=-\frac12\vec m-\vec m-\frac23\vec n=-\frac32\vec m-\frac23\vec n.$$

И, наконец,

$$\vec{AC}=\vec{AK}+\vec{KC}=-\frac12\vec m-\vec m-\frac53\vec n=-\frac32\vec m-\frac53\vec n.$$

Ответ

$$\vec{AC}=-\frac32\vec m-\frac53\vec n;\quad \vec{AF}=-\frac32\vec m-\frac23\vec n;\quad \vec{KC}=-\vec m-\frac53\vec n;\quad \vec{KF}=-\vec m-\frac23\vec n.$$