Упр.562 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
- На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(K\) и \(F\) так, что $$AK:KB=1:2$$ и $$BF:FC=2:3$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AF},\ \overrightarrow{KC},\ \overrightarrow{KF}$$ через векторы $$\overrightarrow{BK}=\mathbf m,\ \overrightarrow{CF}=\mathbf n$$.
Так как точки $$K$$ и $$F$$ делят стороны треугольника в данных отношениях, выразим нужные векторы через $$\vec{BK}=\vec m$$ и $$\vec{CF}=\vec n$$.
Из отношения $$AK:KB=1:2$$ получаем, что $$\vec{AK}$$ и $$\vec{BK}$$ направлены противоположно, а по модулю $$|\vec{AK}|=\frac12|\vec{BK}|$$, значит
$$\vec{AK}=-\frac12\vec{BK}=-\frac12\vec m.$$
Из отношения $$BF:FC=2:3$$ следует, что $$\vec{BF}$$ и $$\vec{CF}$$ направлены противоположно, а
$$\vec{BF}=-\frac23\vec{CF}=-\frac23\vec n.$$
Теперь найдём остальные векторы:
$$\vec{KF}=\vec{KB}+\vec{BF}=-\vec m-\frac23\vec n,$$
так как $$\vec{KB}=-\vec{BK}=-\vec m.$$
Далее
$$\vec{KC}=\vec{KF}+\vec{FC}=-\vec m-\frac23\vec n-\vec n=-\vec m-\frac53\vec n.$$
Теперь
$$\vec{AF}=\vec{AK}+\vec{KF}=-\frac12\vec m-\vec m-\frac23\vec n=-\frac32\vec m-\frac23\vec n.$$
И, наконец,
$$\vec{AC}=\vec{AK}+\vec{KC}=-\frac12\vec m-\vec m-\frac53\vec n=-\frac32\vec m-\frac53\vec n.$$
Ответ
$$\vec{AC}=-\frac32\vec m-\frac53\vec n;\quad \vec{AF}=-\frac32\vec m-\frac23\vec n;\quad \vec{KC}=-\vec m-\frac53\vec n;\quad \vec{KF}=-\vec m-\frac23\vec n.$$
