Упр.561 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ так, что $$AO:OC=1:2$$, $$BO:OD=4:3$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{BC}$$, $$\overrightarrow{CD}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ через векторы $$\overrightarrow{OA}=a$$ и $$\overrightarrow{OB}=b$$.

Так как точка $$O$$ лежит на диагонали $$AC$$ и $$AO:OC=1:2$$, то векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ противоположно направлены, а по модулю $$OC=2\,OA$$. Поэтому

$$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}=-2\vec a.$$

Аналогично, поскольку $$O$$ лежит на диагонали $$BD$$ и $$BO:OD=4:3$$, то векторы $$\overrightarrow{OB}$$ и $$\overrightarrow{OD}$$ противоположно направлены, а

$$\overrightarrow{OD}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}=-\frac{3}{4}\vec b.$$

Теперь выразим искомые векторы через сумму векторов с началом в точке $$O$$:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec b-\vec a,$$

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-\vec b-2\vec a,$$

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\vec a-\frac{3}{4}\vec b,$$

$$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}=\vec a+\frac{3}{4}\vec b.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=-2\vec a-\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=2\vec a-\frac{3}{4}\vec b,\quad \overrightarrow{DA}=\vec a+\frac{3}{4}\vec b.$$