Упр.560 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 560. В параллелограмме АВCD диагонали пересекаются в точке О. На стороне ВС отметили точку К так, что ВК:КС=2:3. Выразите вектор ОК через векторы АВ=a и AD=b.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\mathbf{b}, \qquad \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}.$$

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, значит точка $$O$$ — середина диагонали $$BD$$. Тогда

$$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\mathbf{b}+\mathbf{a}=\mathbf{a}-\mathbf{b},$$

откуда

$$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf{b}.$$

Точка $$K$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$BK:KC=2:3$$, значит

$$\overrightarrow{BK}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{5}\mathbf{b}.$$

Теперь найдём вектор $$\overrightarrow{OK}$$:

$$\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BK}=\left(\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf{b}\right)+\frac{2}{5}\mathbf{b}=\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{10}\mathbf{b}.$$