Упр.56 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 56. Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см, а одна из диагоналей — 12 см. Найдите вторую диагональ параллелограмма.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A.$$

Подставим данные:

$$12^2=7^2+11^2-2\cdot 7\cdot 11\cdot \cos \angle A,$$

$$144=49+121-154\cos \angle A,$$

$$154\cos \angle A=26,$$

$$\cos \angle A=\frac{13}{77}.$$

В параллелограмме соседние углы supplementary, значит

$$\angle D=180^\circ-\angle A,$$

поэтому

$$\cos \angle D=-\cos \angle A=-\frac{13}{77}.$$

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то

$$CD=AB=7.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. По теореме косинусов:

$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos \angle D.$$

Подставим значения:

$$AC^2=11^2+7^2-2\cdot 11\cdot 7\cdot \left(-\frac{13}{77}\right),$$

$$AC^2=121+49+26,$$

$$AC^2=196,$$

$$AC=14.$$

Ответ

$$14\text{ см}$$