Упр.557 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 557. Докажите, что четырёхутольник ABCD с вершинами A(-1; 2), B(3; 5), C(14; 6), D(2; -3) является трапецией.

Подробный ответ

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(3-(-1);\,5-2)=(4;\,3),$$
$$\overrightarrow{CD}=(2-14;\,-3-6)=(-12;\,-9).$$

Векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ коллинеарны, так как

$$\frac{4}{-12}=\frac{3}{-9}=-\frac13.$$

Значит, прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны.

Проверим вторую пару противоположных сторон:

$$\overrightarrow{AD}=(2-(-1);\, -3-2)=(3;\,-5),$$
$$\overrightarrow{BC}=(14-3;\,6-5)=(11;\,1).$$

Эти векторы не коллинеарны, так как

$$\frac{3}{11}\ne \frac{-5}{1}.$$

Следовательно, $$AD$$ не параллельна $$BC$$.

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон параллельна, а другая — нет. Значит, $$ABCD$$ является трапецией.