Упр.548 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

На сторонах $$BC$$ и $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отметили соответственно точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$BE:EC=3:1$$, $$CF:FD=1:3$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{EF}$$ через векторы $$\overrightarrow{AB}=\mathbf a$$ и $$\overrightarrow{AD}=\mathbf b$$.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b,\qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec a.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\vec b-\vec a.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ECF$$ и $$\triangle DBC$$. У них угол при вершине $$C$$ общий, а

$$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4},\qquad \frac{CF}{CD}=\frac{1}{4}.$$

Следовательно, $$\triangle ECF \sim \triangle DBC$$, поэтому

$$\frac{EF}{BD}=\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}(\vec b-\vec a)=\frac{1}{4}\vec b-\frac{1}{4}\vec a.$$