Упр.548 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 548. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки Е и F так, что BE:ЕС=3:1, CF:FD=1:3. Выразите вектор EF через векторы АВ=а и AD=b.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b,\qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec a.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\vec b-\vec a.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ECF$$ и $$\triangle DBC$$. У них угол при вершине $$C$$ общий, а

$$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4},\qquad \frac{CF}{CD}=\frac{1}{4}.$$

Следовательно, $$\triangle ECF \sim \triangle DBC$$, поэтому

$$\frac{EF}{BD}=\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}(\vec b-\vec a)=\frac{1}{4}\vec b-\frac{1}{4}\vec a.$$