Упр.547 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$ отметили соответственно точки $$M$$ и $$N$$ так, что $$AM:MB=1:2$$, $$BN:NC=2:1$$. Выразите вектор $$NM$$ через векторы $$AB=\mathbf{a}$$ и $$AD=\mathbf{b}$$.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b.$$

Так как $$AM:MB=1:2,$$ то

$$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}=-\frac{2}{3}\vec a.$$

Так как $$BN:NC=2:1,$$ то

$$\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec b.$$

Тогда

$$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BM}.$$

Подставим найденные векторы:

$$\overrightarrow{NM}=-\frac{2}{3}\vec b-\frac{2}{3}\vec a.$$

Следовательно,