Упр.546 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 546. Точки О, A и В лежат на одной прямой. Докажите, что существует такое число k, что OA=k·OB.

Так как точки $$O$$, $$A$$ и $$B$$ лежат на одной прямой, возможны три случая.

1) Если точка $$A$$ лежит на луче $$OB$$, то векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$ сонаправлены. Тогда длина вектора $$\overrightarrow{OA}$$ выражается через длину вектора $$\overrightarrow{OB}$$ так:

$$\overrightarrow{OA}=\frac{OA}{OB}\cdot \overrightarrow{OB}.$$

Значит, существует число

$$k=\frac{OA}{OB},$$

для которого $$\overrightarrow{OA}=k\cdot \overrightarrow{OB}.$$

2) Если точка $$B$$ лежит на луче $$OA$$, то векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$ также сонаправлены. Поэтому аналогично получаем:

$$\overrightarrow{OA}=\frac{OA}{OB}\cdot \overrightarrow{OB}, \qquad k=\frac{OA}{OB}.$$

3) Если точка $$O$$ лежит между $$A$$ и $$B$$, то векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$ противоположно направлены. Тогда

$$\overrightarrow{OA}=-\frac{OA}{OB}\cdot \overrightarrow{OB},$$

то есть

$$k=-\frac{OA}{OB}.$$

Во всех случаях существует число $$k$$ такое, что

$$\overrightarrow{OA}=k\cdot \overrightarrow{OB}.$$

Ответ

Существует число $$k$$, для которого $$\overrightarrow{OA}=k\cdot \overrightarrow{OB}$$; при этом $$k=\frac{OA}{OB}$$, если векторы сонаправлены, и $$k=-\frac{OA}{OB}$$, если они противоположно направлены.