Упр.545 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 545. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответственно точки М и N так, что AM:MB=AN+NC=1:2. Выразите вектор MN через вектор СВ.

Подробный ответ

Так как $$AM:MB=1:2,$$ то

$$\frac{AM}{AB}=\frac{1}{1+2}=\frac13.$$

Аналогично, из $$AN:NC=1:2$$ получаем

$$\frac{AN}{AC}=\frac{1}{1+2}=\frac13.$$

Рассмотрим треугольники $$AMN$$ и $$ABC$$. У них общий угол $$\angle A,$$ а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac13.$$

Следовательно, $$\triangle AMN \sim \triangle ABC,$$ и

$$\frac{MN}{BC}=\frac13,$$

то есть

$$MN=\frac13\,BC.$$

Так как вектор $$\overrightarrow{MN}$$ направлен противоположно вектору $$\overrightarrow{CB},$$ то