Упр.54 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 54. Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен 120°.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ и применим теорему косинусов к стороне $$AC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos\angle B.$$

По условию

$$AC^2=AB^2+AB\cdot BC+BC^2.$$

Приравняем правые части:

$$AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos\angle B=AB^2+AB\cdot BC+BC^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$-2AB\cdot BC\cos\angle B=AB\cdot BC.$$

Так как $$AB>0$$ и $$BC>0$$, делим обе части на $$AB\cdot BC$$:

$$-2\cos\angle B=1,$$

$$\cos\angle B=-\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle B=120^\circ.$$

Ответ

$$\angle B=120^\circ$$