Упр.53 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 53. Одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, а угол между этими сторонами составляет 60°. Докажите, что данный треугольник является прямоугольным.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$AB=2AC$$ и $$\angle BAC=60^\circ$$.

По теореме косинусов для стороны $$BC$$:

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A $$

Подставим данные:

$$ BC^2=(2AC)^2+AC^2-2\cdot 2AC\cdot AC\cdot \cos 60^\circ $$

$$ BC^2=4AC^2+AC^2-4AC^2\cdot \frac12=3AC^2 $$

Следовательно,

$$ BC=\sqrt{3}\,AC $$

Теперь применим теорему косинусов для угла $$C$$:

$$ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C $$

Подставим найденное значение $$BC$$:

$$ (2AC)^2=AC^2+3AC^2-2\cdot AC\cdot \sqrt{3}AC\cdot \cos \angle C $$

$$ 4AC^2=4AC^2-2\sqrt{3}\,AC^2\cos \angle C $$

Отсюда

$$ 2\sqrt{3}\,AC^2\cos \angle C=0 $$

Так как $$AC\neq 0$$, то

$$ \cos \angle C=0 $$

Значит,

$$ \angle C=90^\circ $$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Ответ

$$\angle C=90^\circ$$, значит, треугольник прямоугольный.