Упр.53 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, а угол между этими сторонами составляет 60°. Докажите, что данный треугольник является прямоугольным.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$AB=2AC$$ и $$\angle BAC=60^\circ$$.

По теореме косинусов для стороны $$BC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A$$

Подставим данные:

$$BC^2=(2AC)^2+AC^2-2\cdot 2AC\cdot AC\cdot \cos 60^\circ$$

$$BC^2=4AC^2+AC^2-4AC^2\cdot \frac12=3AC^2$$

Следовательно,

$$BC=\sqrt{3}\,AC$$

Теперь применим теорему косинусов для угла $$C$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C$$

Подставим найденное значение $$BC$$:

$$(2AC)^2=AC^2+3AC^2-2\cdot AC\cdot \sqrt{3}AC\cdot \cos \angle C$$

$$4AC^2=4AC^2-2\sqrt{3}\,AC^2\cos \angle C$$

Отсюда

$$2\sqrt{3}\,AC^2\cos \angle C=0$$

Так как $$AC\neq 0$$, то

$$\cos \angle C=0$$

Значит,

$$\angle C=90^\circ$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Ответ

$$\angle C=90^\circ$$, значит, треугольник прямоугольный.