Упр.521 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 521. Докажите, что площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, составляет 3/4 площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Подробный ответ

Пусть $$R$$ — радиус данной окружности.

Найдём сторону правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Его сторона равна хорде, стягивающей дугу $$60^\circ$$, поэтому

$$a_{\text{в}}=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2R\sin 30^\circ=R.$$

Найдём сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. Для него радиус вписанной окружности равен апофеме, а сторона выражается формулой

$$a_{\text{о}}=2R\tan\frac{180^\circ}{6}=2R\tan 30^\circ=\frac{2R\sqrt3}{3}.$$

Оба шестиугольника правильные, значит, они подобны. Тогда отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон:

$$\frac{S_{\text{в}}}{S_{\text{о}}}=\left(\frac{a_{\text{в}}}{a_{\text{о}}}\right)^2=\left(\frac{R}{\frac{2R\sqrt3}{3}}\right)^2=\left(\frac{3}{2\sqrt3}\right)^2=\frac{9}{12}=\frac34.$$

Следовательно, площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, составляет $$\frac34$$ площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.