Упр.520 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

В треугольник $$\triangle ABC$$ вписан параллелограмм $$CDMK$$ так, что угол $$C$$ у них общий, а точки $$D$$, $$M$$ и $$K$$ принадлежат соответственно сторонам $$AC$$, $$AB$$ и $$BC$$ треугольника. Найдите стороны параллелограмма $$CDMK$$, если его периметр равен $$20\text{ см}$$, $$AC=12\text{ см}$$, $$BC=9\text{ см}$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$CDMK$$ — параллелограмм, то $$MD \parallel BC$$ и $$MK \parallel AC$$.

Тогда треугольники $$AMD$$ и $$ABC$$ подобны, поэтому

$$\frac{MD}{BC}=\frac{AD}{AC}.$$

Пусть $$MK=x$$, $$MD=y$$. Тогда из параллелограмма имеем

$$P_{CDMK}=2(MK+MD)=20,$$

откуда

$$x+y=10.$$

Из подобия треугольников:

$$\frac{MD}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC-CD}{AC}.$$

Так как $$CD=MK=x$$, $$AC=12$$, $$BC=9$$, получаем

$$\frac{y}{9}=\frac{12-x}{12},$$

$$y=\frac{3}{4}(12-x)=9-\frac{3}{4}x.$$

Подставим это в уравнение $$x+y=10$$:

$$x+9-\frac{3}{4}x=10,$$

$$\frac{1}{4}x=1,$$

$$x=4.$$

Тогда

$$y=10-4=6.$$

Следовательно, стороны параллелограмма равны $$MK=4$$ см и $$MD=6$$ см.

Ответ

$$4\text{ см},\ 6\text{ см}$$