Упр.520 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 520. В треугольник АВС вписан параллелограмм CDMK так, что угол С у них общий, а точки D, М и К принадлежат соответственно сторонам АС, АВ и ВС треугольника. Найдите стороны параллелограмма CDMK, если его периметр равен 20 см, АС=12 см, ВС=9 см.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$CDMK$$ — параллелограмм, то $$MD \parallel BC$$ и $$MK \parallel AC$$.
Тогда треугольники $$AMD$$ и $$ABC$$ подобны, поэтому
$$\frac{MD}{BC}=\frac{AD}{AC}.$$
Пусть $$MK=x$$, $$MD=y$$. Тогда из параллелограмма имеем
$$P_{CDMK}=2(MK+MD)=20,$$
откуда
$$x+y=10.$$
Из подобия треугольников:
$$\frac{MD}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC-CD}{AC}.$$
Так как $$CD=MK=x$$, $$AC=12$$, $$BC=9$$, получаем
$$\frac{y}{9}=\frac{12-x}{12},$$
$$y=\frac{3}{4}(12-x)=9-\frac{3}{4}x.$$
Подставим это в уравнение $$x+y=10$$:
$$x+9-\frac{3}{4}x=10,$$
$$\frac{1}{4}x=1,$$
$$x=4.$$
Тогда
$$y=10-4=6.$$
Следовательно, стороны параллелограмма равны $$MK=4$$ см и $$MD=6$$ см.
Ответ
$$4\text{ см},\ 6\text{ см}$$
