Упр.52 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 52. На стороне АВ треугольника АВС отметили точку K, а на продолжении стороны ВС за точку С — точку М. Найдите отрезок МК, если АВ=15 см, ВС=7 см, АС=13 см, АК=8 см, МС=3 см.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B.$$

Подставим данные:

$$13^2=15^2+7^2-2\cdot 15\cdot 7\cos\angle B,$$

$$169=225+49-210\cos\angle B,$$

$$210\cos\angle B=105,$$

$$\cos\angle B=\frac{1}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BKM$$. Так как точка $$K$$ лежит на стороне $$AB$$, а точка $$M$$ — на продолжении стороны $$BC$$, то

$$BK=AB-AK=15-8=7,$$

$$BM=BC+CM=7+3=10.$$

По теореме косинусов для треугольника $$BKM$$:

$$MK^2=BK^2+BM^2-2\cdot BK\cdot BM\cos\angle B,$$

$$MK^2=7^2+10^2-2\cdot 7\cdot 10\cdot \frac{1}{2},$$

$$MK^2=49+100-70=79.$$

Следовательно,

$$MK=\sqrt{79}\text{ см}.$$

Ответ

$$\sqrt{79}\text{ см}$$