Упр.52 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. На стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ отметили точку $$K$$, а на продолжении стороны $$BC$$ за точку $$C$$ — точку $$M$$. Найдите отрезок $$MK$$, если $$AB=15\text{ см}$$, $$BC=7\text{ см}$$, $$AC=13\text{ см}$$, $$AK=8\text{ см}$$, $$MC=3\text{ см}$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B.$$

Подставим данные:

$$13^2=15^2+7^2-2\cdot 15\cdot 7\cos\angle B,$$

$$169=225+49-210\cos\angle B,$$

$$210\cos\angle B=105,$$

$$\cos\angle B=\frac{1}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BKM$$. Так как точка $$K$$ лежит на стороне $$AB$$, а точка $$M$$ — на продолжении стороны $$BC$$, то

$$BK=AB-AK=15-8=7,$$

$$BM=BC+CM=7+3=10.$$

По теореме косинусов для треугольника $$BKM$$:

$$MK^2=BK^2+BM^2-2\cdot BK\cdot BM\cos\angle B,$$

$$MK^2=7^2+10^2-2\cdot 7\cdot 10\cdot \frac{1}{2},$$

$$MK^2=49+100-70=79.$$

Следовательно,

$$MK=\sqrt{79}\text{ см}.$$

Ответ

$$\sqrt{79}\text{ см}$$