Упр.519 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 519. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены параллелограммы AA1B1B, BB2C1C, CC2A2A. Прямые A1A2, B1B2, C1C2 попарно непараллельны. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам A1A2, B1B2 и C1C2.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Для него выполняется

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0.$$

Так как $$AA_1B_1B$$, $$BB_2C_1C$$ и $$CC_2A_2A$$ — параллелограммы, то

$$\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{B_2C_1}=\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{C_2A_2}=\overrightarrow{CA}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_2C_1}+\overrightarrow{C_2A_2}=\vec 0.$$

Теперь рассмотрим сумму векторов, соответствующих сторонам ломаной $$A_2A_1B_1B_2C_1C_2A_2$$:

$$\overrightarrow{A_2A_1}+\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{B_2C_1}+\overrightarrow{C_1C_2}+\overrightarrow{C_2A_2}=\vec 0.$$

Подставляя найденное равенство, получаем

$$\overrightarrow{A_2A_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2}=\vec 0.$$

Значит, три вектора $$\overrightarrow{A_2A_1}$$, $$\overrightarrow{B_1B_2}$$ и $$\overrightarrow{C_1C_2}$$ можно расположить последовательно так, чтобы они образовали замкнутый треугольник. Следовательно, существует треугольник, стороны которого равны отрезкам $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$.

Ответ

Существует треугольник со сторонами $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$, так как $$\overrightarrow{A_2A_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2}=\vec 0$$.