Упр.518 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 518. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что MA+MB+MC=0.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1$$ середину стороны $$BC$$, тогда $$AA_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Точка $$M$$ — точка пересечения медиан, значит, она лежит на медиане $$AA_1$$ и делит её в отношении $$AM:MA_1=2:1$$.

Построим точку $$D$$ так, чтобы $$D \in AA_1$$ и $$A_1D=MA_1$$. Тогда в четырёхугольнике $$MBDC$$ имеем:

$$MA_1=A_1D,$$

а так как $$A_1$$ — середина $$BC$$, то $$BA_1=A_1C.$$

Следовательно, диагонали четырёхугольника $$MBDC$$ пересекаются и делятся пополам, значит, $$MBDC$$ — параллелограмм. Поэтому

$$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}.$$

Так как $$M$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, то

$$MA_1=\frac{1}{2}MA,$$

откуда

$$MD=2MA_1=MA.$$

Точки $$A, M, D$$ лежат на одной прямой, причём векторы $$\overrightarrow{MA}$$ и $$\overrightarrow{MD}$$ равны по модулю и противоположно направлены. Значит,

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\vec{0}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\vec{0}.$$

Что и требовалось доказать.