Упр.514 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 514. Докажите, что для параллелограмма ABCD и произвольной точки X выполняется равенство XA+XC=XB+XD.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}.$$

Рассмотрим сумму векторов:

$$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{BX}=\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{XA}=\overrightarrow{BA},$$

так как при сложении векторов по правилу треугольника получаем вектор от точки $$B$$ к точке $$A$$.

Аналогично

$$\overrightarrow{XD}+\overrightarrow{CX}=\overrightarrow{CX}+\overrightarrow{XD}=\overrightarrow{CD}.$$

Но $$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$$, следовательно,

$$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{BX}=\overrightarrow{XD}+\overrightarrow{CX}.$$

Перегруппируем слагаемые:

$$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XD}.$$