Упр.513 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Векторы $$\overrightarrow{MN}$$, $$\overrightarrow{PQ}$$ и $$\overrightarrow{EF}$$ попарно неколлинеарны, причём $$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{EF}=0$$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам $$MN$$, $$PQ$$ и $$EF$$.

Пусть $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN},\quad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PQ},\quad \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{EF}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}.$$

Из свойства сложения векторов получаем, что

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},$$

следовательно,

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0},$$

что верно. Значит, векторы $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{CA}$$ можно расположить как стороны некоторого треугольника.

Так как данные векторы попарно неколлинеарны, соответствующие им отрезки не лежат на одной прямой, следовательно, треугольник не вырожден.

Итак, существует треугольник, стороны которого равны отрезкам $$MN,\ PQ,\ EF.$$

Ответ

Да, такой треугольник существует.