Упр.513 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 513. Векторы MN, PQ и EF попарно неколлинеарны, причём MN+PQ+EF=0. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам MN, PQ и EF.

Подробный ответ

Пусть $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN},\quad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PQ},\quad \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{EF}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}.$$

Из свойства сложения векторов получаем, что

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},$$

следовательно,

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0},$$

что верно. Значит, векторы $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{CA}$$ можно расположить как стороны некоторого треугольника.

Так как данные векторы попарно неколлинеарны, соответствующие им отрезки не лежат на одной прямой, следовательно, треугольник не вырожден.

Итак, существует треугольник, стороны которого равны отрезкам $$MN,\ PQ,\ EF.$$