Упр.512 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 512. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что OA+OB+OC+OD=0. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей четырёхугольника $$ABCD$$. Тогда точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$B, O, D$$ — на одной прямой.

По условию

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}.$$

Перенесём слагаемые:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=-(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}).$$

Так как $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ коллинеарны, а также $$\overrightarrow{OB}$$ и $$\overrightarrow{OD}$$ коллинеарны, то из равенства векторов следует, что

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}, \qquad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}.$$

Следовательно,

$$OA=CO,\qquad OB=DO.$$

Значит, точка $$O$$ делит обе диагонали пополам. А если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.