Упр.510 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Для ненулевых векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ выполняется равенство $$|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$$. Докажите, что $$\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}$$.

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ отложены от одной точки $$A$$: тогда $$\overrightarrow{AB}=\vec a$$, $$\overrightarrow{BC}=-\vec b$$, а значит

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a-\vec b.$$

По условию

$$|\vec a-\vec b|=|\vec a|+|\vec b|,$$

то есть

$$AC=AB+BC.$$

Равенство в неравенстве треугольника возможно только тогда, когда точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой и точка $$B$$ находится между $$A$$ и $$C$$. Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CB}.$$

Но $$\overrightarrow{AB}=\vec a$$, а $$\overrightarrow{CB}=-\vec b$$, значит векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Так как

$$|\vec a-\vec b|=|\vec a|+|\vec b|,$$

то векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ направлены противоположно. Следовательно, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — противоположно направленные коллинеарные векторы.

Ответ

$$\vec a \uparrow\downarrow \vec b$$, то есть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны и направлены противоположно.