Упр.509 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 509. Для ненулевых векторов a и b выполняется равенство |a+b|=|a|+|b|. Докажите, что a^^b.

Подробный ответ

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ отложены от одной точки $$A$$, а их сумма изображена вектором $$\overrightarrow{AC}$$, где $$B$$ — конец вектора $$\vec a$$, а $$C$$ — конец вектора $$\vec b$$.

Тогда по условию

$$|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|,$$

то есть

$$AC=AB+BC.$$

Но для треугольника $$ABC$$ всегда выполняется неравенство

$$AC\le AB+BC,$$

и равенство возможно только тогда, когда точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой, причём точка $$B$$ находится между $$A$$ и $$C$$.

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ сонаправлены. А так как $$\overrightarrow{AB}=\vec a$$ и $$\overrightarrow{BC}=\vec b$$, то

$$\vec a \uparrow\uparrow \vec b.$$