Упр.508 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 508. Докажите, что для неколлинеарных векторов а и b выполняется неравенство векторов |a-b| < |a|+|b|.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ так, что $$\overrightarrow{BA}=\vec a$$, $$\overrightarrow{BC}=\vec b$$. Тогда по правилу треугольника

$$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\vec a-\vec b.$$

Следовательно,

$$|\vec a-\vec b|=|\overrightarrow{CA}|=CA.$$

По неравенству треугольника для треугольника $$ABC$$ имеем

$$CA<AB+BC.$$

Но $$AB=|\overrightarrow{BA}|=|\vec a|$$, $$BC=|\overrightarrow{BC}|=|\vec b|$$. Значит,

$$|\vec a-\vec b|<|\vec a|+|\vec b|.$$

Что и требовалось доказать.