Упр.507 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 507. Докажите, что для неколлинеарных векторов a и b выполняется неравенство векторов |a+b| < |a|+|b|.

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны. Построим треугольник так, чтобы $$\overrightarrow{AB}=\vec a$$, $$\overrightarrow{BC}=\vec b$$. Тогда по правилу сложения векторов

$$\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b.$$

Следовательно,

$$|\vec a+\vec b|=|\overrightarrow{AC}|=AC,$$

а также

$$|\vec a|=|\overrightarrow{AB}|=AB,\qquad |\vec b|=|\overrightarrow{BC}|=BC.$$

Так как точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ не лежат на одной прямой, то в треугольнике $$ABC$$ выполняется неравенство треугольника:

$$AC<AB+BC.$$

Подставляя выражения через длины векторов, получаем

$$|\vec a+\vec b|<|\vec a|+|\vec b|.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$|\vec a+\vec b|<|\vec a|+|\vec b|.$$