Упр.505 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) AD-BA+DB-DC=AB; 2) AB+CA-DA=0.

Используем свойства векторов в параллелограмме: противоположные стороны равны и параллельны, поэтому

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}$$

заменим вычитание сложением противоположных векторов:

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}.$$

Сгруппируем векторы:

$$\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right).$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB},$$

а так как в параллелограмме $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB},$$ то

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}.$$

Удобнее сразу воспользоваться равенством $$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}$$ и получить:

$$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}.$$

Так как $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB},$$ то

$$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AB}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}.$$

2) Рассмотрим выражение

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{DA}.$$

Так как $$-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD},$$ то

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{DA} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD},$$

поэтому

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{DA} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}.$$

Но в параллелограмме $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC},$$ значит

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}.$$

Итак,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}.$$

Ответ

1) $$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$$;

2) $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}.$$