Упр.504 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 504. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Докажите, что векторы BM+MD+DC=CD+AC, где М — произвольная точка.

Рассмотрим левую часть равенства:

$$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}.$$

По правилу сложения векторов имеем:

$$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BD},$$

значит

$$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}.$$

Теперь воспользуемся правилом треугольника:

$$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}.$$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то противоположные стороны равны и параллельны, следовательно

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.$$

С другой стороны, в параллелограмме диагональ выражается через сумму двух смежных сторон:

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$

Но для параллелограмма также верно, что

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD},$$

а значит

$$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.$$