Упр.503 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 503. Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что векторы MC+CB+BD=MA-DA, где М — произвольная точка.

Подробный ответ

Используем правило сложения векторов по ломаной:

$$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{MB}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MD}.$$

С другой стороны, по правилу треугольника

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MD}.$$

Следовательно, обе части равны одному и тому же вектору $$\overrightarrow{MD}$$, значит,

$$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}.$$

Так как $$\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}$$, то получаем

$$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{DA}.$$