Упр.501 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ точки $$M$$, $$N$$, $$K$$ — середины сторон соответственно $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ через векторы $$\overrightarrow{MN}=\vec{m}$$, $$\overrightarrow{KN}=\vec{n}$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$AMKD$$. Так как $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$, то

$$AM \parallel KD,\qquad AM=KD=\frac12 AB.$$

Следовательно, $$AMKD$$ — параллелограмм. Тогда

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MK}.$$

Но

$$\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NK}=\vec m-\vec n,$$

так как $$\overrightarrow{KN}=\vec n$$, значит $$\overrightarrow{NK}=-\vec n.$$

Итак,

$$\overrightarrow{AD}=\vec m-\vec n.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$ABNE$$, где $$E$$ — середина $$AD$$. Тогда

$$BN \parallel AE,\qquad BN=AE=\frac12 BC,$$

значит, $$ABNE$$ — параллелограмм. Поэтому

$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{NE}.$$

Найдём $$\overrightarrow{NE}$$:

$$\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{ME}.$$

Так как $$\overrightarrow{NM}=-\vec m,$$ а в параллелограмме $$AMKD$$ имеем $$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{KN}=\vec n$$, то

$$\overrightarrow{NE}=-\vec m-\vec n.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{BA}=-\vec m-\vec n.$$

Ответ

$$\overrightarrow{BA}=-\vec m-\vec n,\qquad \overrightarrow{AD}=\vec m-\vec n.$$