Упр.50 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Две стороны треугольника равны $$15\ \text{см}$$ и $$35\ \text{см}$$, а угол, противолежащий большей из известных сторон, равен $$120^\circ$$. Найдите периметр треугольника.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

Подставим известные данные:

$$35^2=15^2+AC^2-2\cdot 15\cdot AC\cdot \cos 120^\circ.$$

Так как $$\cos 120^\circ=-\frac{1}{2},$$ получаем:

$$1225=225+AC^2+15AC.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$AC^2+15AC-1000=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=15^2+4\cdot 1000=225+4000=4225,$$

$$\sqrt{D}=65.$$

Тогда

$$AC=\frac{-15\pm 65}{2}.$$

Положительный корень:

$$AC=\frac{50}{2}=25.$$

Теперь найдём периметр треугольника:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=15+35+25=75.$$

Ответ

$$75\text{ см}$$