Упр.499 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 499. Докажите, что для любых точек А, В, С, D, Е выполняется равенство векторов AB+BC+CD+DE+EA=0.

Подробный ответ

Используем правило сложения векторов по ломаной: сумма последовательных векторов равна вектору, соединяющему начальную и конечную точки.

Тогда

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},$$

поэтому

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}.$$

Далее

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD},$$

значит,

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}.$$

Но

$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=\vec{0}.$$