Упр.498 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любых $$n$$ точек $$A_1, A_2, \ldots, A_n$$ выполняется равенство векторов $$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}+\ldots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$$.

Докажем равенство по правилу сложения векторов по ломаной.

Для трёх точек $$A_1, A_2, A_3$$ имеем:

$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}=\overrightarrow{A_1A_3}.$$

Это следует из того, что при последовательном откладывании векторов конец первого совпадает с началом второго, а результирующий вектор соединяет начало первого с концом второго.

Теперь применим это свойство последовательно:

$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}=\overrightarrow{A_1A_4},$$

$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}+\overrightarrow{A_4A_5}=\overrightarrow{A_1A_5},$$

и так далее. Продолжая этот процесс, получаем для любых $$n$$ точек:

$$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}.$$

Что и требовалось доказать.