Упр.488 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Даны четырёхугольник $$ABCD$$ и некоторая точка $$O$$. Известно, что $$OA-OD=OB-OC$$. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

Преобразуем данное равенство в векторной форме:

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}.$$

Перенесём слагаемые так, чтобы получить векторы сторон четырёхугольника:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DO}.$$

Так как $$\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}$$ и $$\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DB},$$ то можно записать:

$$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}.$$

Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

$$ABCD$$ — параллелограмм.