Упр.487 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 487. В параллелограмме АВCD диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что OA+OB+OC+OD=0.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Значит, точка $$O$$ — середина диагоналей $$AC$$ и $$BD$$.

Тогда векторы, лежащие на одной диагонали и направленные к точке $$O$$, равны по модулю и противоположны по направлению:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0},$$

$$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}.$$

Сложим эти равенства:

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} = (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}) = \vec{0}+\vec{0} = \vec{0}. $$

Что и требовалось доказать.