Упр.485 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Докажите, что для любых точек $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ выполняется равенство векторов:

1. $$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$$;
2. $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$$;
3. $$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$$.

1) Используем правило треугольника:

$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$$

и

$$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}.$$

2) Перенесём слагаемые:

$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}.$$

Действительно,

$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB},$$

откуда после замены противоположных векторов получаем требуемое равенство.

3) Сначала сгруппируем векторы:

$$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AC}.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC},$$

значит

$$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}.$$

Ответ

1) $$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$$; 2) $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$$; 3) $$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$$.