Упр.48 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 48. Две стороны треугольника, угол между которыми равен 120°, относятся как 5:3. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 30 см.

Пусть $$AB=x$$, тогда $$BC=\frac{5}{3}x$$, так как $$BC:AB=5:3$$.

По условию периметр треугольника $$ABC$$ равен $$30$$ см, значит

$$AB+BC+AC=30,$$

откуда

$$x+\frac{5}{3}x+AC=30,$$

$$AC=30-\frac{8}{3}x.$$

Теперь применим теорему косинусов к стороне $$AC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B.$$

Так как $$\angle B=120^\circ$$, то $$\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}$$. Тогда

$$AC^2=AB^2+BC^2+AB\cdot BC.$$

Подставим $$AB=x$$, $$BC=\frac{5}{3}x$$ и $$AC=30-\frac{8}{3}x$$:

$$\left(30-\frac{8}{3}x\right)^2=x^2+\left(\frac{5}{3}x\right)^2+x\cdot \frac{5}{3}x.$$

$$900-160x+\frac{64}{9}x^2=x^2+\frac{25}{9}x^2+\frac{5}{3}x^2,$$

$$900-160x+\frac{64}{9}x^2=\frac{49}{9}x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$900-160x+\frac{15}{9}x^2=0,$$

$$5x^2-480x+2700=0,$$

$$x^2-96x+540=0.$$

Найдём корни:

$$D=96^2-4\cdot 540=9216-2160=7056,$$

$$\sqrt{D}=84.$$

Тогда

$$x_1=\frac{96-84}{2}=6,\qquad x_2=\frac{96+84}{2}=90.$$

Значение $$x=90$$ не подходит, так как тогда $$AC=30-\frac{8}{3}\cdot 90<0$$. Значит, $$AB=6$$ см.

Тогда

$$BC=\frac{5}{3}\cdot 6=10,$$

$$AC=30-6-10=14.$$

Ответ

$$AB=6\text{ см},\ BC=10\text{ см},\ AC=14\text{ см}.$$