Упр.470 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 470. Начертите параллелограмм ABCD. Постройте векторы BC+BA, BC+DC, BC+CA, BC+AD, AC+DB.

Используем правило сложения векторов по треугольнику и свойство параллелограмма: $$\vec{AB}=\vec{DC}, \quad \vec{BC}=\vec{AD}.$$

1) $$\vec{BC}+\vec{BA}=\vec{BD},$$ так как при последовательном откладывании векторов из точки $$B$$ получаем диагональ $$BD$$.

2) $$\vec{BC}+\vec{DC}$$ нельзя непосредственно сложить по правилу треугольника, но в параллелограмме $$\vec{DC}=\vec{AB}$$, значит

$$\vec{BC}+\vec{DC}=\vec{BC}+\vec{AB}=\vec{AC}.$$

3) $$\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{BA},$$ потому что переход из $$B$$ в $$C$$, а затем из $$C$$ в $$A$$ равносилен переходу из $$B$$ в $$A$$.

4) $$\vec{BC}+\vec{AD}=\vec{BC}+\vec{BC}=2\vec{BC}.$$

5) $$\vec{AC}+\vec{DB}.$$ В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому

$$\vec{DB}=\vec{DC}+\vec{CB}.$$

Тогда

$$\vec{AC}+\vec{DB}=\vec{AC}+\vec{DC}+\vec{CB}.$$

Но $$\vec{AC}+\vec{CB}=\vec{AB}$$, следовательно

$$\vec{AC}+\vec{DB}=\vec{AB}+\vec{DC}=\vec{AC}.$$

Значит, искомый вектор равен $$\vec{AC}$$.

Ответ

$$\vec{BC}+\vec{BA}=\vec{BD}, \quad \vec{BC}+\vec{DC}=\vec{AC}, \quad \vec{BC}+\vec{CA}=\vec{BA}, \quad \vec{BC}+\vec{AD}=2\vec{BC}, \quad \vec{AC}+\vec{DB}=\vec{AC}.$$